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+0  45 道 Bongard 问题:寻找图形分类的依据

Tag: 游戏 |  图形 | Uncategorized | 趣题
admin 发于 2014年09月23日 19:20 | 点击: 1974 | 展开摘要
如果让你设计一种用于人工智能测试的谜题,你会怎么设计?俄国计算机科学家 Mikhail Moiseevich Bongard 在 1967 年出版的 Проблема Узнавания 一书中提出了一种“图形分类依据”型的谜题。谜题的规则很简单:现已按照某种依据把 12 张图片分成了左右两组(每组各 6 张),问依据是什么。在 Проблема Узнавания 的附录中, Bongard 自己出了 100 道题,并把它们依次编号为 1, 2, 3, …, 1

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+0  趣题:圆内接八边形的面积

Tag: 几何 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年09月22日 21:09 | 点击: 1939 | 展开摘要
一个圆内接八边形,各边长度依次为 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 。求这个八边形的面积。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设圆的半径为 R 。整个八边形是由 4 个三边分别为 3, R, R 的三角形和 4 个三边分别为 2, R, R 的三角形组成。如果我们重新摆放这 8 个三角形,让这两种三角形交替出现的话,整个

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+0  趣题:竞技场里的狮子能否保证抓住最高速度相同的小明?

Tag: 几何 | Uncategorized | 算法 | 趣题 | 极限
admin 发于 2014年08月30日 03:38 | 点击: 1953 | 展开摘要
小明和狮子同被关在一个半径为 10 米的竞技场里,狮子位于竞技场的圆心处,小明则在距离圆心 1 米的地方。两者的最大运动速度都是每秒 1 米。狮子有没有什么必胜策略,使得不管小明怎么跑,它总能在有限的时间里抓住小明?

根据 MathWorld 相关词条的描述,这个问题是由 R. Rado 在 1925 年时提出的。一个经典的“答案”是,狮子只需要始终保持自己与小明在圆盘的同一半径上即可。直觉上看,由于狮子总是处在“内圈”上,因而不管小明跑到了哪里,狮子总能轻松地与小明继续保

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+0  寻找相邻两项之比不趋于 1.618 的广义 Fibonacci 数列

Tag: 数列 | 抽象代数 | 线性代数 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年08月14日 20:18 | 点击: 1923 | 展开摘要
大家或许知道 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 有一个非常漂亮的性质:数列中的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 。事实上,如果我们用 F(n) 来表示第 n 个 Fibonacci 数的话,那么当 n → ∞ 时,我们有 F(n + 1) / F(n) → (1 + √5) / 2 。

不过,可能有人并不知道,如果把 Fibonacci 数列的前两项换成两个其他的正整数(但保持 Fibonacci

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+0  趣题:寻找四个共圆的点

Tag:  图形 | 几何 | Uncategorized | 趣题
admin 发于 2014年08月12日 04:11 | 点击: 1490 | 展开摘要
5 张矩形的纸片和 6 张圆形的纸片散落在桌面上,如下图所示(其中一张矩形纸片被撕掉了一个角)。考虑所有露在外面的矩形顶点以及纸张边缘处的交点,你能否从中找出四个保证共圆的点?很简单,右下角那个绿色矩形的四个顶点就满足要求,因为矩形的四个顶点显然是共圆的。其实,在这个图里,还有另外三组满足要求的点,你能找到吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

首先, A 、 B 、 C 、 D

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+0  将立方体绕其体对角线旋转一周后会得到什么图形?

Tag: 动画 | 几何 | Uncategorized | 趣题
admin 发于 2014年06月11日 02:45 | 点击: 1364 | 展开摘要
最近看到一道小学数学题,非常考验人的空间想象能力:将一个立方体绕着它的对角线 AC1 旋转一周,会得到下面的哪一种立体图形?

 

 

 

 

 

 

 

 

答案是 D 。下面是我自己做的一个演示动画。

你猜对了吗?

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+0  在 2048 里能够得到的最大的数是多少?

Tag: 游戏 | Uncategorized | 趣题 | 二进制 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年05月08日 01:21 | 点击: 1871 | 展开摘要
Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题:在最近非常流行的小游戏 2048 中,你能得到的最大的数是多少?

在这里,我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行,棋盘里填有一个个的“数块”,每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步,你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向,按下对应的方向键之后,所有的数块都会“落”到这个方向;若有两个同种

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+0  趣题:2014 年 INMO 中的一个问题

Tag: Uncategorized | 趣题 | 数论 | 证明
admin 发于 2014年05月06日 21:33 | 点击: 1395 | 展开摘要
这是 2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛(INMO)的第 2 题:求证,对于任意正整数 n ,

[n/1] + [n/2] + [n/3] + … + [n/n] + [√n]

总是偶数。这里, [x] 表示不超过 x 的最大整数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

官方给出的解答采用的是数学归纳法。不妨令

f(n) = [n/1] + [n/2] + [n

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+0  趣题:圆中的两个相切的半圆

Tag: 几何 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年04月04日 04:47 | 点击: 1213 | 展开摘要
下面这个结论是 Andrew Jobbings 在 2011 年指出的:

AB 是圆 O 的一条直径, CD 、 EF 是两条垂直于 AB 的弦,并且以 CD 为直径的半圆和以 EF 为直径的半圆正好切于点 T 。那么,两个半圆的面积之和一定等于圆 O 的面积的一半。

你能证明这个结论吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

下面是 cut-the

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+0  通信复杂度问题:利用特殊机器判断公共元素的存在性

Tag: 复杂度 | Uncategorized | 算法 | 趣题 | 组合数学
admin 发于 2014年03月18日 16:45 | 点击: 1079 | 展开摘要
某个导师要和 A 、 B 两名学生玩一个游戏。导师会把 A 、 B 两名学生分别放进两间小黑屋里,每间屋子里都有一台电脑,这两台电脑之间只有一条通信线路。然后,导师会想一个正整数 n (可能会非常非常大),把它的值告诉这两名学生;再构造出集合 {1, 2, …, n} 的两个子集,分别交给这两名学生。于是,每个人都知道了 n 的值和 {1, 2, …, n} 的一个子集。两人需要合作确定出,他们手中的集合是否包含公共的元素。他们之间交流信息的唯一途径就是那条通信线路,但他们能

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+0  趣题:免分割线的多米诺骨牌覆盖方案

Tag: Uncategorized | 趣题 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年01月30日 13:11 | 点击: 1256 | 展开摘要
    问题:能否用多米诺骨牌既无重复又无遗漏地覆盖一个 6 × 6 的棋盘,使得棋盘上的每一条水平线和每一条竖直线都会穿过至少一个多米诺骨牌?举个例子,下图所示的棋盘覆盖方案就是不满足要求的,因为棋盘的第二条水平线不会切断任何一个多米诺骨牌。



      

 

 

 

 

 

 

 

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+0  趣题:Kontsevich的单人跳棋游戏

Tag: 游戏 | Uncategorized | 趣题 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年01月30日 00:03 | 点击: 1312 | 展开摘要
      

    有一个无限大的棋盘,棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域,其中最左下角的那个格子里有一枚棋子,如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子,分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作,让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是:对于那些 n ,这个游戏是有解的?

  

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