IT牛人博客聚合

    公式 h = (1/2)·g·t^2 里， t 头上的平方并不奇怪。显然，物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的，高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位，是米除以平方秒的形式；为了得出一个以长度为单位的结果，我们必须要消除分母位置上的“平方秒”，因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。

    类似地， E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米，牛本身又是千克乘以米每平方秒，刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ，正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。

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    给定一个正方形纸片，用上面这种方法可以折出一个等边三角形。你能看出这是为什么吗？

  

    由对称性，组成等边三角形的前两道折痕显然一样长，我们只需要证明它们之间的夹角是 60 度即可。注意到，如图折叠后将会立即产生直角边是斜边长度一半的直角三角形， 30 度角由此产生。由此可知，前两道折痕和纸片边上的夹角都是 15 度，两折痕之间的夹角自然也就正好是 60 度了。

    这个等边三角形的折法来源于 这里。同一个网站还给出了折出其它正 N 边形的方法，感兴趣的读者可以尝试着证

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    数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。

    作为一本数学趣题集， Mathematical Puzzles 一书中竟把仍未解决的数学趣题单独列为一章，可见这些问题有多么令人着迷。

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    最多能在平面上找出多少个点，使得它们两两之间的距离都是整数？当然，我们忽略最平凡的解——所有点都在一条直线上。

    三个点的解显然是存在的，只需要构造一个边长为 1 的等边三角形即可。事实上，满足任意两数之和大于第三数的一组整数都可以成为一个三角形的三条边。寻找含有四个点的解也并不困难，一个长为 4 宽为 3 的矩形就能满足要求。不过，我们还有更小一些的解。最小的解貌似是下面这个等腰梯形：上底、下底分别是 3 和 4 ，两腰都是 2 ，两条对角线都是 4 ，正好也都是整数。

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    Menelaus 定理是平面几何中用于判断三点共线的一个常用定理。在 △ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 BC 、 AC 、 AB 所在直线上，若 D 、 E 、 F 三点共线，则有 AF/BF · BD/CD · CE/AE = 1 。 Menelaus 定理的证明方法有很多，今天我见到了我所见过的证明方法中最帅的一种，它解决了之前很多证明方法缺乏对称性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美。

 

  

    过 DEF 所在直线作一个新的平面（没错，辅助线做到三维空间

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    最近看到一类有趣的问题：如何求解 f(f(x)) = g(x) ？我在网上简单搜索了一下，发现这里面真是大有文章。最先对这个问题进行系统研究的应该是 Hellmuth Kneser ，他把函数迭代的次数扩展到了非整数的情况，求解 f(f(x)) = g(x) 就可以更简单地说成是求解 g(x) 迭代 1/2 次后的结果，更形象的说法就是 g(x) 的“平方根”。 Hellmuth Kneser 还对 f(f(x)) = e^x 的解进行了研究，从之后的数学论文发表情况来看，这也是数学家们最关心的问题。

    e^x 的“平方根”究竟是什么样的

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    如果有人问你，三角形

  

    的下一行数是什么，你一定会毫不犹豫地说，下一行是 “1 4 6 4 1” ——这是 Pascal 三角，每个数都等于两肩的数之和。不过，最近 The College Mathematics Journal 上的一篇论文却给出了一个同样合理的正确答案： 1 4 5 4 1 。理由同样对称而美观：每个数都等于两肩的数之积加 1 ，除以头顶上（再上一行的对应位置上）的数。例如，第 2 个数 4 就等于 (1*3 + 1) / 1 ，而第 3 个数 5 则等于 (3*3 + 1) / 2 。我们

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    大家或许都知道经典的两人分饼问题——为了实现公平性，只需要一个人切，另一个人选即可。不过，在现实生活中，情况远没有那么理想。如果把大饼换成蛋糕，问题就复杂了很多——你想吃奶油，我想吃巧克力，他想吃水果⋯⋯如果分蛋糕的人对蛋糕各部分的价值看法有分歧，还能实现公平的分割吗？如果分蛋糕的人不止两个呢？

    事实上，对于两个人分蛋糕的情况，经典的“你来分我来选”的方法仍然是非常有效的，即使双方对蛋糕价值的计算方法不一致也没关系。首先，由其中一人执刀，把蛋糕切分成两块；然后，另一个人选出他自己更想要的那块，剩下的那块就留给第一个人。由于分蛋糕的人事先

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考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

 

答案：记 Pi 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

      P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …

  = (P1 + P2 + P3 + …) + (P2 + P3 + …) + (P3 + …) +

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