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+0  趣题:圆内接八边形的面积

Tag: 几何 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年09月22日 21:09 | 点击: 1630 | 展开摘要
一个圆内接八边形,各边长度依次为 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 。求这个八边形的面积。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设圆的半径为 R 。整个八边形是由 4 个三边分别为 3, R, R 的三角形和 4 个三边分别为 2, R, R 的三角形组成。如果我们重新摆放这 8 个三角形,让这两种三角形交替出现的话,整个

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+0  利用重心推导平方和公式

Tag: 数列 | 物理 | 几何 | Uncategorized | 证明
admin 发于 2014年09月01日 03:45 | 点击: 1417 | 展开摘要
假设平面上有 1 + 2 + 3 + … + n 个小球,每个小球的质量都是 1kg 。它们排成了一个三角形阵,具体地说,它们排成了一个倒置的、以 (0, 1) 为顶点的等边三角形。这个三角形阵作为一整个物体,它的重心的 y 坐标是多少?我们有两种不同的求解方法。

第一种方法是暴力方法。这个物体的重心的 y 坐标,一定等于所有小球的 y 坐标的平均值,即

(1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + n × n) / (1 + 2 +

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+0  寻找相邻两项之比不趋于 1.618 的广义 Fibonacci 数列

Tag: 数列 | 抽象代数 | 线性代数 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年08月14日 20:18 | 点击: 1632 | 展开摘要
大家或许知道 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 有一个非常漂亮的性质:数列中的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 。事实上,如果我们用 F(n) 来表示第 n 个 Fibonacci 数的话,那么当 n → ∞ 时,我们有 F(n + 1) / F(n) → (1 + √5) / 2 。

不过,可能有人并不知道,如果把 Fibonacci 数列的前两项换成两个其他的正整数(但保持 Fibonacci

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+0  Penney 的游戏:正所谓后发制人,先发制于人

Tag: 游戏 | Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明 | 概率
admin 发于 2014年07月10日 21:36 | 点击: 1257 | 展开摘要
让我们来玩一个游戏。连续抛掷硬币,直到最近三次硬币抛掷结果是“正反反”或者“反反正”。如果是前者,那么我获胜,你需要给我 1 元钱;如果是后者,那么你获胜,我会给你 1 元钱。你愿意跟我玩这样的游戏吗?换句话说,这个游戏是公平的吗?

乍看上去,你似乎没有什么不同意这种玩法的理由,毕竟“正反反”和“反反正”的概率是均等的。连续抛掷三次硬币可以产生 8 种不同的结果,上述两种各占其中的 1/8 。况且,序列“正反反”和“反反正”看上去又是如此对称,获胜概率怎么看怎么一样。



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+0  子串复杂度、平衡 01 串与 Sturmian 串

Tag:  图形 | Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年06月09日 03:34 | 点击: 1305 | 展开摘要
让我们先从两个小问题开始说起。第一个问题是,是否存在某个无限不循环的 01 串,使得对于任意一个正整数 n ,该 01 串中长度为 n 的子串都有且仅有 n + 1 种?

或许这个问题来得有些突然。让我们慢慢解释一下,这个问题是怎么来的。衡量一个 01 串的复杂程度有很多办法,比方说,我们可以去考察它的“子串复杂度”(subword complexity),即子串的种类有多丰富。我们用 pw(n) 来表示,在一个(有可能无限长的)数字串 w 当中,长度为 n 的子串一共有多

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+0  在 2048 里能够得到的最大的数是多少?

Tag: 游戏 | Uncategorized | 趣题 | 二进制 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年05月08日 01:21 | 点击: 1687 | 展开摘要
Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题:在最近非常流行的小游戏 2048 中,你能得到的最大的数是多少?

在这里,我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行,棋盘里填有一个个的“数块”,每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步,你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向,按下对应的方向键之后,所有的数块都会“落”到这个方向;若有两个同种

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+0  趣题:2014 年 INMO 中的一个问题

Tag: Uncategorized | 趣题 | 数论 | 证明
admin 发于 2014年05月06日 21:33 | 点击: 1236 | 展开摘要
这是 2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛(INMO)的第 2 题:求证,对于任意正整数 n ,

[n/1] + [n/2] + [n/3] + … + [n/n] + [√n]

总是偶数。这里, [x] 表示不超过 x 的最大整数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

官方给出的解答采用的是数学归纳法。不妨令

f(n) = [n/1] + [n/2] + [n

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+0  多边形外角和等于 360° 的一种直观解释

Tag: 动画 |  图形 | 几何 | Uncategorized | 证明
admin 发于 2014年04月08日 03:48 | 点击: 4376 | 展开摘要
来源:Mathematics Stack Exchange

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+0  趣题:圆中的两个相切的半圆

Tag: 几何 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年04月04日 04:47 | 点击: 1093 | 展开摘要
下面这个结论是 Andrew Jobbings 在 2011 年指出的:

AB 是圆 O 的一条直径, CD 、 EF 是两条垂直于 AB 的弦,并且以 CD 为直径的半圆和以 EF 为直径的半圆正好切于点 T 。那么,两个半圆的面积之和一定等于圆 O 的面积的一半。

你能证明这个结论吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

下面是 cut-the

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+0  杨辉三角中的自然底数 e

Tag: 数列 | Uncategorized | 惊奇数学事实 | 微积分 | 证明
admin 发于 2014年04月03日 17:59 | 点击: 1182 | 展开摘要
你相信吗,杨辉三角里竟然也有自然底数 e 的身影。 2012 年, Harlan Brothers 发现了杨辉三角中的一个有趣的事实。不妨把杨辉三角第 n 行的所有数之积记作 sn ,那么随着 n 的增加, sn · sn+2 / sn+12 会越来越接近 e ≈ 2.718 。事实上,我们有:

这是为什么呢? John Baez 在这个网页上给出了一个漂亮的解释。

 

首先,让杨辉三角 (A) 里面的每个数都除以它左下角的那个数,于是得到了图 (B) 所示的

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+0  保加利亚单人纸牌游戏

Tag: Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年03月26日 00:52 | 点击: 930 | 展开摘要
保加利亚单人纸牌游戏(Bulgarian solitaire)的玩法如下:

取出 45 张牌,然后把它们随意分成若干堆。接下来,从每一堆里各取一张牌,叠在一起形成一堆新的牌。不断这样做下去,如果某个时候桌面上正好有 9 堆牌,并且各堆牌数分别为 1, 2, 3, 4, …, 9 ,你就获胜了。

乍看上去,如果初始局面设定不佳,游戏很可能会陷入某个循环,从而永远无法获胜。然而, 1981 年,丹麦数学家 Jørgen Brandt 证明了,对于任意一个初始局面(包括把所有牌

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+0  立方和公式的一个组合数学证明

Tag: Uncategorized | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年02月04日 00:02 | 点击: 933 | 展开摘要
    观察下面几个式子:

      13 = 1; (1)2 = 1

      13 + 23 = 9; (1 + 2)2 = 9

      13 + 23 + 33 = 36; (1 + 2 + 3)2 = 36

  &n

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