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    同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。 1874 年， Cantor 发表了一篇重要的论文，论文中证明了全体有理数甚至是全体代数数都是可数的，但全体实数却是不可数的。换句话说，同样是无穷多，实数的数量比有理数、代数数的数量都高出了一个级别。不过，当时 Cantor 证明实数集不可数的方法并不容易理解。 1891 年， Cantor 发表了另一篇论文，给出了实数集不可数的另一种证明方法。此后，这个简单到不可思议的证明不断地震撼着每一个初学集合论的人：

    事实上，实数区间

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    这篇文章收录了 Which Way Did the Bicycle Go 趣题集中一个非常有趣的问题：是否有可能在平面上画不可数个不相交的 8 ？答案是否定的。证明方法非常简单。对于任意一个 8 字形，在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q （由于平面上的有理点是稠密的，这是总能办到的），则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交，因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的，因此 8 字形的数量也是可数的。

      

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    当 1848 年国际象棋玩家 Max Bezzel 提出八皇后问题（eight queens puzzle）时，他恐怕怎么也想不到，100 多年以后，这个问题竟然成为了编程学习中最重要的必修课之一。八皇后问题听上去非常简单：把八个皇后放在国际象棋棋盘上，使得这八个皇后互相之间不攻击（国际象棋棋盘是一个 8×8 的方阵，皇后则可以朝横竖斜八个方向中的任意一个方向走任意多步）。虽然这个问题一共有 92 个解，但要想徒手找出一个解来也并不容易。下图就是其中一个解：

     

    八皇后问题有很

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    今天看到一个有趣的证明，来源在这里。

      

    Cantor 集是一个简单而又神奇的分形图形。把 [0, 1] 三等分，挖去中间那一段（即挖去 (1/3, 2/3) ），然后把剩下两段也都分别进行三等分，并挖去各自中间的一段。这样无限地进行下去，最后得到的极限点集就是 Cantor 集了（上面那张图不是分割线，是 Cantor 集的一个示意图）。我们通常把 Cantor 集记作 C 。Cantor 集具有很多神奇的性质：它的 Lebesgue 测度为 0，但它却包含有不可

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考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

 

答案：记 Pi 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

      P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …

  = (P1 + P2 + P3 + …) + (P2 + P3 + …) + (P3 + …) +

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