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+0  几道抛硬币问题

Tag: Math | 抛硬币 | 排列组合 | 数学 | 概率
四火 发于 2015年07月27日 05:39 | 点击: 1028 | 展开摘要
只是记录一下遇到的几道抛硬币的概率问题。

 

1、平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续的两个正面?

假设连续两个正面的期望是E,那么,先看第一次抛硬币:

如果抛到反面,那么还期望抛E次,因为抛到反面完全没用,总数就期望抛E+1

如果抛到正面,那么要看下一次,如果下一次也是正面,那抛硬币就结束了,总数是2;如果下一次是反面,那么相当于重头来过,总数就期望抛E+2

于是可以得到如下关系式:

E = 0.5(E+1) + 0.25*2 + 0.25(E+2)



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+0  所谓历史

Tag: Life | 历史 | 数学 | 物理 | 科学
四火 发于 2014年11月29日 14:44 | 点击: 1335 | 展开摘要
不久前看到这样一条微博:

赫胥黎的鸟,薛定谔的猫,达尔文的猴子学人叫;孟德尔的豌豆,巴甫洛夫的狗,巴斯德的汤里还有肉;爱迪生的灯泡,马可尼的电报,奥本海默扔了个小摔炮;伽利略的铁球,安培的电流,牛顿被苹果砸破头;阿基米德的澡,门捷列夫的表,居里夫人的老公是根草……

下面有不少有才的人回复,比如这个数学版本的:

高斯想的招,欧拉走的桥,笛卡尔盯着蜘蛛想坐标;费马的页边,庞加莱的球面,希尔伯特开起了无穷旅店;黎曼的猜想,阿贝尔的交换,麦比乌斯转出了单面环;伽罗瓦的剑,伯努利

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+0  Penney 的游戏:正所谓后发制人,先发制于人

Tag: 游戏 | Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明 | 概率
admin 发于 2014年07月10日 21:36 | 点击: 1535 | 展开摘要
让我们来玩一个游戏。连续抛掷硬币,直到最近三次硬币抛掷结果是“正反反”或者“反反正”。如果是前者,那么我获胜,你需要给我 1 元钱;如果是后者,那么你获胜,我会给你 1 元钱。你愿意跟我玩这样的游戏吗?换句话说,这个游戏是公平的吗?

乍看上去,你似乎没有什么不同意这种玩法的理由,毕竟“正反反”和“反反正”的概率是均等的。连续抛掷三次硬币可以产生 8 种不同的结果,上述两种各占其中的 1/8 。况且,序列“正反反”和“反反正”看上去又是如此对称,获胜概率怎么看怎么一样。



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+0  子串复杂度、平衡 01 串与 Sturmian 串

Tag:  图形 | Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年06月09日 03:34 | 点击: 1630 | 展开摘要
让我们先从两个小问题开始说起。第一个问题是,是否存在某个无限不循环的 01 串,使得对于任意一个正整数 n ,该 01 串中长度为 n 的子串都有且仅有 n + 1 种?

或许这个问题来得有些突然。让我们慢慢解释一下,这个问题是怎么来的。衡量一个 01 串的复杂程度有很多办法,比方说,我们可以去考察它的“子串复杂度”(subword complexity),即子串的种类有多丰富。我们用 pw(n) 来表示,在一个(有可能无限长的)数字串 w 当中,长度为 n 的子串一共有多

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+0  在 2048 里能够得到的最大的数是多少?

Tag: 游戏 | Uncategorized | 趣题 | 二进制 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年05月08日 01:21 | 点击: 2044 | 展开摘要
Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题:在最近非常流行的小游戏 2048 中,你能得到的最大的数是多少?

在这里,我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行,棋盘里填有一个个的“数块”,每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步,你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向,按下对应的方向键之后,所有的数块都会“落”到这个方向;若有两个同种

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+0  杨辉三角中的自然底数 e

Tag: 数列 | Uncategorized | 惊奇数学事实 | 微积分 | 证明
admin 发于 2014年04月03日 17:59 | 点击: 1422 | 展开摘要
你相信吗,杨辉三角里竟然也有自然底数 e 的身影。 2012 年, Harlan Brothers 发现了杨辉三角中的一个有趣的事实。不妨把杨辉三角第 n 行的所有数之积记作 sn ,那么随着 n 的增加, sn · sn+2 / sn+12 会越来越接近 e ≈ 2.718 。事实上,我们有:

这是为什么呢? John Baez 在这个网页上给出了一个漂亮的解释。

 

首先,让杨辉三角 (A) 里面的每个数都除以它左下角的那个数,于是得到了图 (B) 所示的

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+0  保加利亚单人纸牌游戏

Tag: Uncategorized | 算法 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年03月26日 00:52 | 点击: 1188 | 展开摘要
保加利亚单人纸牌游戏(Bulgarian solitaire)的玩法如下:

取出 45 张牌,然后把它们随意分成若干堆。接下来,从每一堆里各取一张牌,叠在一起形成一堆新的牌。不断这样做下去,如果某个时候桌面上正好有 9 堆牌,并且各堆牌数分别为 1, 2, 3, 4, …, 9 ,你就获胜了。

乍看上去,如果初始局面设定不佳,游戏很可能会陷入某个循环,从而永远无法获胜。然而, 1981 年,丹麦数学家 Jørgen Brandt 证明了,对于任意一个初始局面(包括把所有牌

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+0  通信复杂度问题:利用特殊机器判断公共元素的存在性

Tag: 复杂度 | Uncategorized | 算法 | 趣题 | 组合数学
admin 发于 2014年03月18日 16:45 | 点击: 1186 | 展开摘要
某个导师要和 A 、 B 两名学生玩一个游戏。导师会把 A 、 B 两名学生分别放进两间小黑屋里,每间屋子里都有一台电脑,这两台电脑之间只有一条通信线路。然后,导师会想一个正整数 n (可能会非常非常大),把它的值告诉这两名学生;再构造出集合 {1, 2, …, n} 的两个子集,分别交给这两名学生。于是,每个人都知道了 n 的值和 {1, 2, …, n} 的一个子集。两人需要合作确定出,他们手中的集合是否包含公共的元素。他们之间交流信息的唯一途径就是那条通信线路,但他们能

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+0  Thue-Morse 序列与免平方字符串

Tag: 数列 | 递归 | Uncategorized | 算法 | 二进制 | 组合数学
admin 发于 2014年03月07日 17:39 | 点击: 1161 | 展开摘要
字符串 hello 当中连续出现了两个 l 。字符串 prototype 当中连续出现了两个 ot 。字符串 nonsense 当中连续出现了两个 nse 。如果某个字符串中连续出现了两个相同的片段,换句话说这个字符串里面含有形如 XX 的模式(其中 X 代表一个子串),我们就说这个字符串中含有一个“平方”(square)。如果某个字符串中没有平方出现,我们就说这个字符串是“免平方”的(square-free)。

如果只使用两种字符,比方说字符 0 和字符 1 的话,我们只

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+0  立方和公式的一个组合数学证明

Tag: Uncategorized | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年02月04日 00:02 | 点击: 1141 | 展开摘要
    观察下面几个式子:

      13 = 1; (1)2 = 1

      13 + 23 = 9; (1 + 2)2 = 9

      13 + 23 + 33 = 36; (1 + 2 + 3)2 = 36

  &n

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+0  连分数的一个性质以及它的一个组合解释

Tag: Uncategorized | 惊奇数学事实 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年02月03日 00:38 | 点击: 1273 | 展开摘要
    你知道吗?连分数

      

    而连分数

      

    这两个连分数的分子竟然是相同的!这是为什么呢?《Proofs that Really Count》里面给出了一个有意思的组合学解释。

 &n

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+0  趣题:免分割线的多米诺骨牌覆盖方案

Tag: Uncategorized | 趣题 | 组合数学 | 证明
admin 发于 2014年01月30日 13:11 | 点击: 1370 | 展开摘要
    问题:能否用多米诺骨牌既无重复又无遗漏地覆盖一个 6 × 6 的棋盘,使得棋盘上的每一条水平线和每一条竖直线都会穿过至少一个多米诺骨牌?举个例子,下图所示的棋盘覆盖方案就是不满足要求的,因为棋盘的第二条水平线不会切断任何一个多米诺骨牌。



      

 

 

 

 

 

 

 

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