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+0  利用重心推导平方和公式

Tag: 数列 | 物理 | 几何 | Uncategorized | 证明
admin 发于 2014年09月01日 03:45 | 点击: 1676 | 展开摘要
假设平面上有 1 + 2 + 3 + … + n 个小球,每个小球的质量都是 1kg 。它们排成了一个三角形阵,具体地说,它们排成了一个倒置的、以 (0, 1) 为顶点的等边三角形。这个三角形阵作为一整个物体,它的重心的 y 坐标是多少?我们有两种不同的求解方法。

第一种方法是暴力方法。这个物体的重心的 y 坐标,一定等于所有小球的 y 坐标的平均值,即

(1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + n × n) / (1 + 2 +

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+0  寻找相邻两项之比不趋于 1.618 的广义 Fibonacci 数列

Tag: 数列 | 抽象代数 | 线性代数 | Uncategorized | 趣题 | 证明
admin 发于 2014年08月14日 20:18 | 点击: 1923 | 展开摘要
大家或许知道 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 有一个非常漂亮的性质:数列中的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 。事实上,如果我们用 F(n) 来表示第 n 个 Fibonacci 数的话,那么当 n → ∞ 时,我们有 F(n + 1) / F(n) → (1 + √5) / 2 。

不过,可能有人并不知道,如果把 Fibonacci 数列的前两项换成两个其他的正整数(但保持 Fibonacci

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+0  杨辉三角中的自然底数 e

Tag: 数列 | Uncategorized | 惊奇数学事实 | 微积分 | 证明
admin 发于 2014年04月03日 17:59 | 点击: 1310 | 展开摘要
你相信吗,杨辉三角里竟然也有自然底数 e 的身影。 2012 年, Harlan Brothers 发现了杨辉三角中的一个有趣的事实。不妨把杨辉三角第 n 行的所有数之积记作 sn ,那么随着 n 的增加, sn · sn+2 / sn+12 会越来越接近 e ≈ 2.718 。事实上,我们有:

这是为什么呢? John Baez 在这个网页上给出了一个漂亮的解释。

 

首先,让杨辉三角 (A) 里面的每个数都除以它左下角的那个数,于是得到了图 (B) 所示的

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+0  Thue-Morse 序列与免平方字符串

Tag: 数列 | 递归 | Uncategorized | 算法 | 二进制 | 组合数学
admin 发于 2014年03月07日 17:39 | 点击: 1053 | 展开摘要
字符串 hello 当中连续出现了两个 l 。字符串 prototype 当中连续出现了两个 ot 。字符串 nonsense 当中连续出现了两个 nse 。如果某个字符串中连续出现了两个相同的片段,换句话说这个字符串里面含有形如 XX 的模式(其中 X 代表一个子串),我们就说这个字符串中含有一个“平方”(square)。如果某个字符串中没有平方出现,我们就说这个字符串是“免平方”的(square-free)。

如果只使用两种字符,比方说字符 0 和字符 1 的话,我们只

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+0  为什么Fibonacci数列相邻两项之比会趋于0.618?

Tag: 数列 | 动画 | 递归 | Brain Storm | 图形
Matrix67 发于 2013年03月30日 10:04 | 点击: 1775 | 展开摘要
    你或许熟知一个非常经典的结论: Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … (头两项都是 1 ,此后每一项都是前两项之和)的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 0.618 ,不信请看:

      1 / 1 = 1.0000000...

      1

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+0  Hofstadter的非线性递推数列

Tag: 数列 | 递归 | Brain Storm | 惊奇数学事实 | 图形 | 组合数学
Matrix67 发于 2013年01月11日 22:38 | 点击: 1399 | 展开摘要
    在著名奇书 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 的第五章中,为了展现出递推序列的神奇之处,作者 Douglas Hofstadter 定义了这么一个递推序列: G(n) = n - G(G(n - 1)) ,其中 G(1) = 1 。这个序列的前 30 项如下:

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

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+0  Fibonacci数列性质的组合证明

Tag: Brain Storm | 数列 | 证明 | 组合数学
Matrix67 发于 2012年01月27日 20:44 | 点击: 1694 | 展开摘要
    数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 叫做 Fibonacci 数列。这个数列有很多神奇的性质,其中一个性质是,每一个 Fibonacci 数的平方与它前后两个 Fibonacci 数的乘积一定正好相差 1 。具体地说,如果把第 n 个 Fibonacci 数记做 Fn ,那么有:

      Fn+1 · Fn+1 - Fn · Fn

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+0  经典证明:Conway的士兵

Tag: 趣题 | Brain Storm | 惊奇数学事实 | 数列 | 证明 | 无理数
Matrix67 发于 2011年09月11日 22:53 | 点击: 2022 | 展开摘要
    今天听说了 Conway's Soldiers ,这是 Conway 大牛在 1961 年提出的一个数学谜题(似乎 Conway 的出镜率也太高了),我觉得非常有意思,在这里跟大家介绍一下。内容基本上来自于 Wikipedia 的相关页面。

    假设有一个无限大的棋盘。棋盘上可以放置一些象征着士兵的棋子。一个棋子可以跳过并吃掉和它相邻的一枚棋子(就像孔明棋一样)。这是棋子的唯一一种移

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+0  生成函数的妙用:平均抛掷多少次硬币才会出现连续两个正面?

Tag: Brain Storm | 概率 | 生成函数 | 数列 | 组合数学 | 导数
Matrix67 发于 2011年08月11日 18:25 | 点击: 1914 | 展开摘要
    在一篇老日志中,我提到了一个经典的概率问题:平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续两个正面?它的答案是 6 次。它的计算方法大致如下。

    首先,让我们来考虑这样一个问题: k 枚硬币摆成一排,其中每一枚硬币都可正可反;如果里面没有相邻的正面,则一共有多少种可能的情况?这可以用递推的思想来解决。不妨用 f(k) 来表示摆放 k 枚硬币的方案数。我们可以把这些方案分成两类:最后一枚硬

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+1  数学冷知识:不断取英文表达的字符数,最后总会得到数字4

Tag: Brain Storm | 惊奇数学事实 | 数列 | 文字游戏 | 图形
Matrix67 发于 2011年08月08日 21:50 | 点击: 2204 | 展开摘要
    这道题的答案有几个字母?答案:four。

    有趣的是,这是唯一的答案。如果令函数 f(n) 表示非负整数 n 的英文表达中有多少个字母(不算空格和短横线), n=4 是该函数的唯一不动点。

       n    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

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+0  千万不要迷信规律:大反例合集

Tag: Brain Storm | 数论 | 惊奇数学事实 | 数列
Matrix67 发于 2011年07月13日 13:39 | 点击: 1974 | 展开摘要
    数学猜想并不总是对的,错误的数学猜想不占少数。关键在于,有时反例太大,找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子,里面提到的规律看上去非常诱人,要试到相当大的数时才会出现第一个反例。

千万不要迷信规律

    圆上有 n 个点,两两之间连线后,最多可以把整个圆分成多少块?

      

 &nbs

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+0  Kolakoski序列:我们知道的还是太少

Tag: Brain Storm | 递归 | 惊奇数学事实 | 数列
Matrix67 发于 2011年05月04日 10:36 | 点击: 2846 | 展开摘要
    上帝创造了整数,其余的则是我们人类的事了。正因为如此,质数、完全数、Fibonacci 数之类的数列才会让数学家们如痴如醉,因为它们的存在是如此自然,没有任何人造的因素。事实上,数学家们对这些数的认识也越来越丰富,挖掘出了这些数列中越来越深刻的性质。

    不过,人类确实太渺小了。还有好多构造异常简单的“纯天然数列”,我们了解得实在太少。Kolakoski 数列就是最好的例子之一。

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