IT牛人博客聚合

    想像一个圆盘在地面上滚动一周，那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线（或者摆线）。旋轮线下方的面积是多少，这是一个非常有趣的问题。据说， Galileo 曾经用一种非常流氓的方法，推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片，再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线，把它们拿到秤上一称，发现后者的重量正好是前者的三倍。于是，他推测，半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线，其下方的面积就是 3πr2 。

    

    不过，今天我第一次知道，这个结论对于正多边形是同样成立的。

  

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    昨天终于读完了《The Annotated Turing》一书，第一次完整地阅读了 Turing 最经典的那篇论文，理解了 Turing 机提出的动机和由此带来的一系列结论。不过，这本书的最大价值，则是让我开始重新认识和思考这个世界。在这里，我想把我以前积累的哲学观点和最近一些新的思考记下来，与大家一同分享。《The Annotated Turing》一书中的一些学术内容，留待以后几篇日志与大家分享。今年是 Alan Turing 诞辰 100 周年，图灵公司将推出这本书的中译本《图灵的秘密》，现在正在紧张的编辑排版中，不久之后就能和大家见面。

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    英语当中有一种笑话类型。第一次看到的是：

- What's the difference between a girl in church and a girl in the bathtub?

- One has hope in her soul, one has soap in her hole.

    把我给笑坏了。在说这种笑话的时候，只说一半的效果往往更好。又比如：

- What's the difference between a midget magician and a female jogger?

- One i

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    今天看到这里给出了一个“星际争霸是 NP-hard 问题”的一个证明。具体地说，给定一个初始布局（包括地图、双方已有资源、双方已有建筑、双方已有兵力），判断其中一方是否能获胜，这个问题是 NP-hard 的。当然，考虑到即时战略游戏的复杂性，这个结论并不出人意料；真正有趣的，则是如何巧妙地利用游戏中的元素，构造出极其精巧的初始局面，从而转化成某个已知的 NP-complete 问题。下面是原文中给出的证明。这个证明有没有什么漏洞？你还能想到哪些别的证明方法？欢迎在下面留言一同分享。

    假设初始时有 A 、 B 两位玩家，他们分别位于两个孤

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    数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 叫做 Fibonacci 数列。这个数列有很多神奇的性质，其中一个性质是，每一个 Fibonacci 数的平方与它前后两个 Fibonacci 数的乘积一定正好相差 1 。具体地说，如果把第 n 个 Fibonacci 数记做 Fn ，那么有：

      Fn+1 · Fn+1 - Fn · Fn+2 = (-1)n

    今天看到了这个定理的一个组合数学证明，觉得非常有意思，在这里和大家分享。

 

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    无论是小学奥数，还是公务员考试，还是公司的笔试面试题，似乎都少不了行程问题——题目门槛低，人人都能看懂；但思路奇巧，的确会难住不少人。平时看书上网与人聊天和最近与小学奥数打交道的过程中，我收集到很多简单有趣而又颇具启发性的行程问题，在这里整理成一篇文章，和大家一同分享。这些题目都已经非常经典了，绝大多数可能大家都见过；希望这里能有至少一个你没见过的题目，也欢迎大家来信提供更多类似的问题。

    让我们先从一些最经典最经典的问题说起吧。选中空白部分显示答案。

    甲、乙两人分别从相距 100 米的

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    这篇文章是漫话中文分词算法的续篇。在这里，我们将紧接着上一篇文章的内容继续探讨下去：如果计算机可以对一句话进行自动分词，它还能进一步整理句子的结构，甚至理解句子的意思吗？这两篇文章的关系十分紧密，因此，我把前一篇文章改名为了《漫话中文自动分词和语义识别（上）》，这篇文章自然就是它的下篇。我已经在很多不同的地方做过与这个话题有关的演讲了，在这里我想把它们写下来，和更多的人一同分享。

    什么叫做句法结构呢？让我们来看一些例子。“白天鹅在水中游”，这句话是有歧义的，它可能指的是“白天有一只鹅在水中游”，也可能指的是“有一只白天鹅在水中游”。不同

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     据说，爱出题也是 Geek 的一种特征。这几天在做语言工程课的期末大作业时，再一次见识了汉语里各种诡异的语法规则，然后突然想到了这样一种好玩的题型，于是竟然暂时放下手中的作业，花时间编了几个这样的题目来（感谢 Geek 小美女 localhost_8080 的帮助）。

    下面的每一组词中，前五个词都具有某种共同的性质，这种性质是后面五个词都不具有的。你能猜出每组词所对应的那个性质吗？

      (1) 反复、高兴、磨蹭、说笑、许多 | 地震、动静、金黄、巨大、雕刻

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    有一个正方形的房间，房间的四壁都是镜子。房间里有一个天使和一个恶魔。假设房间是一个单位正方形 [0, 1] × [0, 1] ，那么天使和恶魔便是这个正方形内的两个点 (a, b) 和 (c, d) 。恶魔想要在原地发射致命激光杀死天使（激光可以无限地在镜子间反射）。天使可以根据恶魔的位置，预先在房间里放置一些守卫为自己挡住激光（守卫实际上也是一个个点）。当然，天使可以在自己周围密密麻麻地放一圈守卫，围成一个封闭的圆形，从而让恶魔不管朝什么方向发射激光，最终都无法击中天使。我们的问题是，能把守卫的数量减少到可数个点吗？能把守卫的数量减少到有限个点吗？

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    同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。 1874 年， Cantor 发表了一篇重要的论文，论文中证明了全体有理数甚至是全体代数数都是可数的，但全体实数却是不可数的。换句话说，同样是无穷多，实数的数量比有理数、代数数的数量都高出了一个级别。不过，当时 Cantor 证明实数集不可数的方法并不容易理解。 1891 年， Cantor 发表了另一篇论文，给出了实数集不可数的另一种证明方法。此后，这个简单到不可思议的证明不断地震撼着每一个初学集合论的人：

    事实上，实数区间

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    有一个半径为 10 米的圆形舞台，初始时舞台上的某个地方有一头狮子。这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了 30 千米。求证：在整个过程中，这头狮子至少转了 2998 个弧度。

    有时候，换一个角度思考，问题就会迎刃而解。

 

 

 

 

 

 

 

 

    现在，让我们站在狮子的角度，用狮子的眼光来看周围的世界。这样的话，狮子本身就是静止不动的，运动的其实是整个舞台；再假设狮子的头也是始终朝北的，狮子

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    下面大家将会看到的是一个极其简单而又极其复杂的“迷宫”，这无疑是我在本年度见到的最变态的谜题：从左边入口处的 2011 进去，在迷宫里转悠，最后变成 2012 从右边出来。你可以在迷宫里转圈，可以重复之前走过的路，但不能往回退着走。

      

    你能成功走出来吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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    左图是一个凹多边形，而且凹得相当厉害。作为一个完美主义者，我很难容忍这么一个图形，总想着要把凹进去的部分翻出来，把它还原为一个凸多边形。不幸的是，翻折之后的结果仍然不是凸多边形，图中又产生了新的凹陷。于是，我们想继续把凹进去的部分往外翻，直到整个图形变成凸多边形为止。问题是，这个过程有完吗？换句话说，我们一定能通过有限多步翻折，把凹多边形变成凸的吗？

    这个问题有着非常纠结复杂的历史。这个问题最早可能是由数学家 Paul Erdős 正式提出的。 1935 年，他

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    去年年初的时候，我曾经发布过某专业课期末作业研究过程中带来的一个有趣的副产品：汉字的字义网络图。不过，当时我是直接调用的 Mathematica 的相关函数，函数几乎不能调整参数，并且也无法处理边上权重不同的情况。最近在研究引力斥力绘图算法，突然想到把当时的数据重新画一张图。于是就有了汉字地图第二版（点击小图看大图）：

   

    还是简述一下整个图的制作方法吧。我们的基本依据就是，在全唐诗中，经常对偶的字往往都有非常密切的关系。于是，我们首先找出全唐诗中的对偶字：

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    一个小镇上即将进行大选，候选人有 m ≥ 3 个，选民一共有 n 人。选举时，每个选民在选票上写下一个候选人的名字，然后由计算机根据某种选举机制算出大选的获胜者来。如果把 n 个选民的选票依次记为 x1, x2, ..., xn 的话，那么选举机制的算法其实就是一个映射到 {1, 2, ..., m} 的函数 f(x1, x2, ..., xn) 。

    为了保证选举程序的公平性，让每个人手中的选票都能发挥作用，政府提出了“差异性原则”：如果每个人的选票都变了，那么竞选的获胜者也应当改变。也就是说，如果对于所有的 i 都有 xi ≠ yi

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    在集合 {1, 2, ..., n} 中选出尽可能多的子集，使得每个子集所含的元素个数都是奇数，但是任意两个子集的交集都含有偶数个元素。那么，我们最多能够选出多少个这样的子集来？

    容易看出，我们至少可以选出 n 个子集。例如，当 n = 4 时， {1} 、 {2} 、 {3} 、 {4} 就满足要求。我们还能选出更多的子集来吗？简单地尝试后，你会觉得似乎不行。不过，这却并不是显然的，因为存在一些不那么平凡的方案，也能让子集的数量达到 n ，例如 {1, 2, 3} 、 {1, 2, 4} 、 {1, 3, 4} 、 {2, 3, 4}

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