这文介绍一个压缩前缀树实现的sorted set(github:succinct.Set), 区区95行代码, 包含了一组完整的功能:

• 用前缀树存储一个排序数组, 去掉指针, 压缩掉50%的空间; 例如在本文的例子中, 存储2.4MB的200万个单词, 只需要1.2MB.

• 创建: 从key列表创建一个压缩的前缀树;

• 查询: 支持Has() 操作来查询1个key是否存在;

• 优化: 通过索引来加速 bitmap 的操作, 将较大的 bitmap 操作优化到O(1)的时间开销.

loc100分支是本文中使用的最简实现, 没有任何外部依赖, main分支中的实现面向生产环境, 要快4倍左右.

如果要生产环境使用, 移步slim .

用20万个网上词汇来测试本文实现的succinctSet:

• succinctSet 空间开销是源数据的57% .
• Has()开销为350 ns.

原始数据大小: 2204 KB

跟 string 数组的 bsearch, 以及google-btree的对比:

场景和问题

计算机中的信息, 为了查询方便, 几乎都是排序存储的(即使是hash结构, hash map 中的 hash 值也是顺序存储的).

数据存储领域, 大部分数据也都是静态的, 例如数据库底层的一个page, rocksdb的一个sstable. 数据越来越大后对存储空间的开销也越来越敏感, 毕竟影响性能的主要瓶颈都在IO上, 不论是CPU对主存的访问延迟, 还是内存到磁盘的延迟, 每2层之间的IO延迟, 基本都在1~2个量级左右. 于是更小的存储开销, 不仅节省存储成本, 另一个bonus是几乎毫无疑问的会提升性能,

本文针对这一个广泛使用的场景: 静态排序数据, 提供一个通用的实现方法来压缩空间开销.

生产环境中使用的算法, 和本文介绍的方法同源, 但包括更多的优化, 例如通过SIMD指令一次处理多个字节的比较, 用bitmap来优化labels的存储, 对只有一个出向label的节点的合并优化等.

思路: 前缀树

前缀树, 或字典树, prefix tree, trie, 是解决这类问题的一个典型思路. 例如要存储5个key: [ab, abc, abcd, axy, buv] 可以建立下面这样一个前缀树, 省去大量重复的前缀, 其中^是root节点(也记做0), 1, 2, 3…是trie节点,$标记一个叶子节点, 字母a, b...表示一个节点到下级节点的边(labeled branch):

^ -a-> 1 -b-> 3 $
  |      |      `c-> 6 $
  |      |             `d-> 9 $
  |      `x-> 4 -y-> 7 $
  `b-> 2 -u-> 5 -v-> 8 $

但是! 在 trie 的实现中, 就像一般的树形结构实现一样, 需要大量的指针, 每个 label 到其指向的节点需要占用一个指针. 在64位系统中一个指针就要占8字节, 整个 trie 中指针数量至少也是叶子节点的数量.

如果要存储的字符串长度比较短, 很可能编码成 trie 之后, 因为指针开销, 要占用更大空间. 即使是存储较长的字符串, 大部分场合指针的开销也无法忽略不计.

于是对于这类key集合确定的场景(例如rocksdb中的sstable, 就是典型的静态排序key的存储), 使用压缩的前缀树是一种更简洁有效的方式来去掉指针开销.

前缀树的压缩算法

在这个前缀树中, 每个节点至多有256个出向label, 指向下一级节点. 一个节点可以是inner节点, 例如root节点^, 或1, 2, 3. 也可以是叶子节点, 例如3, 6, 9. 这里3既是一个inner节点也是一个leaf节点.

^ -a-> 1 -b-> 3 $
  |      |      `c-> 6 $
  |      |             `d-> 9 $
  |      `x-> 4 -y-> 7 $
  `b-> 2 -u-> 5 -v-> 8 $

要压缩这个 trie, 对每个 trie 节点, 我们需要的最核心的信息是:

• 一个节点的分支(label)都有哪些,
• 以及label指向的节点的位置.

我们有以下这种紧凑的结构来描述这个 trie:

一个 trie 节点的出向 label 都存储在一个[]byte中, 再用一个 bitmap 来描述每个节点的分支, 后面通过这个 bitmap 来定位 label 对应的节点.

先把每个节点对应的 label 列出来, 并为每个 label 分配一个bit0来标记:

^: {a, b} 00
1: {b, x} 00
2: {u}    0
3: {c}    0
4: {y}    0
5: {v}    0
6: {d}    0
7: ø
8: ø
9: ø

然后将所有的label保存在一个[]byte中, 再将对应的标记label的多个0...用1做分隔符连接到一起: 这2块信息是 succinctSet 核心的2个字段, 有了这2部分数据就可以实现(不算高效的)key查找:

labels(ignore space):  ab bx u c y v d øøø
label bitmap:          0010010101010101111
node-id:               0  1  2 3 4 5 6 789  // node-id 不需要存储

压缩后的查询

在标准的 trie 中查找一个 key 很简单, 在第L层的一个节点上, 查找key[L]的byte是否是 trie 节点的一个出向 label, 如果是, 走到下一个节点, 否则终止.

例如对axy的查找, 要经历3次查找,^ -a-> ① -x-> ④ -y-> ⑦ $:

^ -a-> ① -b-> 3 $
  |      |      `c-> 6 $
  |      |             `d-> 9 $
  |      `x-> ④ -y-> ⑦ $
  `b-> 2 -u-> 5 -v-> 8 $

在 succinctSet 中的查找也是一样, 唯一不同的是如何在这个没有指针的结构中找到某个出向 label 对应的子节点.

我们把 trie 原来的 label 到子节点的关系, 在压缩后的结构中画出来, 端详端详:

|                                .-----.
|                        .--.    | .---|-.
|                        |.-|--. | | .-|-|.
|                        || ↓  ↓ | | | ↓ ↓↓
| labels(ignore space):  ab bx u c y v d øøø
| label bitmap:          0010010101010101111
| node-id:               0  1  2 3 4 5 6 789
|                           || | ↑ ↑ ↑ |   ↑
|                           || `-|-|-' `---'
|                           |`---|-'
|                           `----'

从上图可以看出,

• 除了根节点^, 每个节点都有一个0与之对应(节点入向 label 对应位置的0). 图中上下箭头, 是 label 到节点的关系, 也就是每个0跟它指向的子节点的对应关系.

• 每个节点也都有一个1与之一一对应, 也就是每个节点都有一个结束标记1.

例如:

• bitmap 中 第0个0对应节点1:bx, 第1个0对应节点2:u…

• 同理节点与1的关系也类似, 第0个1对应root节点^,0:ab, 第1个1对应节点1:bx, 第2个1对应节点2:u…

你品, 你细品…

品完后发现,要找到某个 label 指向的节点, 只需要先数数这个 label 对应第几个0, 例如是第i个0, 再找到bitmap中的第i个1, 第i个1后面就是 label 对应的节点位置了 .

这就是在压缩前缀树中逐层定位节点的算法.

举个栗子