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三人合租的房租公平分配方案

云风 发表于 2018年07月26日 14:44 | Hits: 1012
Tag: 读书

今天在读《数学也荒唐》时读到分蛋糕问题,想起之前写过一篇 blog 谈房租分配,其实是同一个问题:

当多个人要切分资源时,如何让每个人都满意。

因为每个人对价值判断是不一样的,就租房来说,有人追求性价比;有人追求舒适,对价格不敏感;按某种固定的方案定价就不太公平。

如果是两人合租,最简单的公平方案就是你定价,我来选。A 来提一个自己认为公平的定价方案:例如大房间 1000 ,小房间 800 ;B 来选择住大房间还是小房间。如果 A B 都是理性的,这就是让双方都满意的方案。

但是三人或更多人分配就没有这么简洁的策略。我在前篇 blog 中讨论了这个问题,在回复中,也有同学给了知乎上分蛋糕问题的链接。

过了这些年,今天读书时又看到,感觉有趣,那么再写一次。

当三人合租时,可以先由 A 先提一个自认为公平的定价方案:例如主卧 1000 ,朝南的次卧 800 ,朝北的次卧 600 。

然后 B 对这个定价方案做出判断,他有两个选择:

如果 B 认为至少有两个房间的定价是可以接受的,那么他可以选择按 C B A 的次序来选择。因为有两个房间可以接受,他是第 2 个选,那么总可以选到满意的房间。

如果 B 认为有两个房间的定价不合理,那么他可以把心目中不合理的两个房间标记为差,然后交给 C 处理。

之后 C 也有两个选择:

如果他觉得定价方案没那么差(两个房间都不合理),那么他可以选择按 B C A 的次序来选择。这样,B 是第一个选,一定能选到他认为最好的房间。(B 认为两间房不合理,那么第三间一定是占了便宜)

如果 C 也认为有两个房间定价不合理,他也把心目中不合理的房间标记为差。

最后,A 必须选择 B C 都不喜欢的房间(如果 B C 观点一致,那么 A 在两间不合理的房间中挑一间)。

A 选走一间房后,问题就退化成两人分配两间房的问题了。

简单说就是,作为定价方 A ,肯定是最后选的,那么他会保证定价均衡。而 B 只有在保证自己可以获得可以接受的选择时,才会让给 C 先选。如果他选择标记出不喜欢的,那么他要么拿到最满意的,要么获得重新分配的方案,而不会在不喜欢的两项中被迫选其一。

只要每个人都理性行事,最终每个人都可以满意。

还有一个方案:

由 A 提出一个方案,还是按上面的例子,例如主卧 1000 ,朝南的次卧 800 ,朝北的次卧 600 。

B 这个时候做出判断,看看是否基本满意,如果对分配方案认可,就直接轮到 C ,按 C B A 的次序从 A 提出的方案中挑选即可。

如果 B 特别中意其中一间,可以对这间加价:例如,他可以说,主卧 1100 ,然后问 C 要不要这间。C 可以选择加价后的主卧,如果 C 不要,B 必须选择这间。

这样 B 和 C 中一定会有人选走这间加过价的房间;之后,剩下的一人对剩下的两间提一个方案,交给 A 优先选择。

按照这个方案,在从三人问题化简到两人问题的过程中,首先选定的人有机会充分考虑价格和喜好因素,所以三人都不会有怨言。

这个问题叫做Fair Division,在 wikipedia 上可以找到详细的证明。

原文链接: https://blog.codingnow.com/2018/07/share3.html

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