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趣题:圆内接八边形的面积

admin 发表于 2014年09月22日 21:09 | Hits: 1629
Tag: 几何 | Uncategorized | 趣题 | 证明

一个圆内接八边形,各边长度依次为 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 。求这个八边形的面积。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设圆的半径为 R 。整个八边形是由 4 个三边分别为 3, R, R 的三角形和 4 个三边分别为 2, R, R 的三角形组成。如果我们重新摆放这 8 个三角形,让这两种三角形交替出现的话,整个图形的面积是不会变的。然而,新的八边形相当于是一个边长为 3 + 2√2的正方形去掉了 4 个直角边为 √2的等腰直角三角形以后所得的图形。它的面积是 (3 + 2√2)2– 4 = 13 + 12√2。

这是 1978 年 Putnam 数学竞赛的 B1 题。我是在 Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking 一书里看到的题目及其解法。

原文链接: http://www.matrix67.com/blog/archives/6116

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